用确界定理证明连续函数的两个重要定理
时间：2022-10-27 来源：博通范文网 本文已影响 人 
【摘要】本文用确界定理证明了连续函数的两个与之等价的重要性质定理——根的存在定理和最大值最小值定理，是一种全新的证明.方法简单巧妙，不落俗套，避免了传统的用闭区间套定理证明的啰嗦麻烦，很有参考价值.
【关键词】确界定理；最大值；最小值定理；证明
1根的存在定理
如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，并且f(a)f(b)<0，则在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0.
证明 不妨设f(a)<0，则f(b)>0.由连续函数的局部保号性定理，存在δ>0与δ′>0，使得x∈［a,a+δ)时有f(x)<0，x∈(b-δ′,b］时f(x)>0.
设以a为左端点且使f(x)<0的任一区间为［a,b′)，记所有这样区间的右端点集合为E，则由x∈［a,b′)时f(x)<0及x∈(b-δ′,b］时f(x>0)知：［a,b′)∩(b-δ′,b］=，从而得到b′≤b-δ′<0.于是E有上界，由确界定理E有上确界，记supE=c，则必有f(c)=0，且x∈［a,c)时f(x)<0.
若f(c)≠0，又由连续函数的局部保号性定理，存在δ1>0，使得x∈(c-δ1,c+δ1)时，f(x)与f(c)同号.
若f(c)<0，则在(c-δ1,c+δ1)内有f(x)<0.又在［a,c)内f(x)<0，所以在［a,c)∪(c-δ1,c+δ1)=［a,c+δ1)内f(x)<0，从而在闭区间a,c+δ12上每一点有f(x)<0.这与c是使f(x)<0所有区间［a,b′)的右端点集合E的上界相矛盾.
若f(c)>0，则在(c-δ1,c+δ1)内有f(x)>0，从而在(c-δ1,c)内f(x)>0.据此及a 在上面证明第一段的基础上，也可设以a为左端点且使f(x)<0的任一区间为［a,b′)，记所有这样的区间长度构成的集合为E，由于d∈E，有d≤b-a，所以E有界.由确界定理E有上确界，记为r…可以证明c=a+r.证明留给读者. 2最大值最小值定理 设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值. 证明 只就最大值的情况予以证明，最小值同理. 因为f(x)在闭区间上连续，所以f(x)在［a,b］上有界.设在区间［a,b］上f(x)的值域为E，则E有界.由确界定理E有上确界，设supE=M.只要证明M∈E，便有fmaxx∈［a,b］(x)=M. 由于supE=M，由上确界的定义，对y∈E，有y≤M，且ε>0，y0∈E，使得y0>M-ε.这样，便有y0∈E，M-ε<y0 另一方面，n∈N，由yn∈E，知道xn∈［a,b］，使得yn=f(xn).由于xn∈［a,b］，所以{xn}有界.由致密性定理知{xn}必存在收敛子列{xnk}，设limk→∞xnk=x0.又由{xnk}［a,b］及［a,b］是闭集知x0∈［a,b］，又由f(x)在闭区间上连续得 M=limn→∞yn=limk→∞ynk=limk→∞f(xnk)=f(limk→∞xnk)=f(x0)∈E. 故有fmax(x)=M. 【参考文献】 ［1］陈传璋，等.数学分析［M］.人民教育出版社，1979. ［2］刘玉琏，等.数学分析讲义［M］.高等教育出版社，2003. ［3］记乐刚.数学分析［M］.华东师范大学出版社，1993. 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
