修正微分定义,统一数学分析
时间：2022-10-27 来源：博通范文网 本文已影响 人 
摘 要：第二次数学危机爆发至今一直都存在不同的意见，无穷小分析这套微积分工具对问题的解决颇具启发性，但其理论基础备受质疑；而现今极限理论框架下的微积分失去了无穷小分析的简明直观性。该文修正了极限理论中微分和无穷小量的定义，根据“Bolzano连续性赋值”建立微商引理，统一了无穷小分析与极限理论；举例推证了部分微分学公式，揭示了无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系，指出了L’Hospital法则、等价无穷小代换本质上就是求出函数在0/0处的值，和Euler的观点吻合。同时用纯粹数学描述Marx的数学手稿，证明其“微分为特定的0”的观点的正确性，表明可以从本质上彻底解决第二次数学危机。
关键词：第二次数学危机 无穷小分析 极限理论 微分 微商引理
中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）01（b）-0010-03
我们知道，Newton、Leibniz创立的第一代微积分理论——无穷小分析，由于其无法解释无穷小量还是，引发了著名的第二次数学危机，也称为Berkeley悖论。为解决这个悖论，Cauchy等人建立了极限理论，把导数、积分严格地建立在极限的基础上，问题从而得到初步解决。但第二次数学危机爆发至今，一直都存在着不同意见：著名的数学家Euler就坚持认为在求导数的运算中，其结果应该是；[1]Marx在他的《数学手稿》中说得更明确：求导数的运算的结果应该是严格的、特定的，提出了微分在数值上等于0的新思想，指出了的精辟见解。[2]虽然无穷小分析存在逻辑上的悖论，但其表述运算过程的简明性和直观性是其他理论所不能及的；枯燥晦涩的语言成为高等数学教学中的一道难关，因此许多经济学家和工程师牢牢地抓住“无穷小量”不放。非标准分析的建立就是为了为无穷小分析正名，但是该理论较为繁琐，进入教学实践困难，无法取代极限理论的地位。统一自然辩证法和纯粹数学两个领域在这个问题上的不同意见，恢复无穷小分析在纯粹数学中的合理地位已成为一项饶有兴致、颇具重要的课题。
1 百家争鸣的无穷小量
Leibniz定义并求R上函数的导数过程：取函数的自变量变化无穷小量，其中，则随变化增量为，因此
，
，令，
定义函数在时的函数值作为函数的导数，记做。
可见，上述过程出现了无穷小量和这个悖论。
为了解决这个悖论，Cauchy等人建立了极限理论，极限理论定义导数如下
设R上函数在的邻域内有定义，若，当时，总有，我们称函数在点处可导，称极限A为函数的导数，即
（1）
极限理论固然严格，消除了和这个悖论，但失去了简明、生动、活泼的计算方法。第一代微积分中的无穷小量在数学上被断定为不可接受，因为还没有形成满意的定义，能与上述公式化的微积分原理一致，或者可以成为在逻辑上满意的替代解释的基础。[3]为了保持微积分运算的简易性，现代数学把无穷小分析看成一种记号，如复合函数导数公式可表示成，其概念源自于导数：函数自变量的微分规定为，因变量的微分记为，这种定义下函数的微分将随着自变量的任意取值而变化，微分即可“充分大、任意大、大而不微”[4]，失去了无穷小量的真实含义。此外，在微积分发展史中学者们对无穷小量有着不同的看法：“潜无穷”、“实无穷”、“已消失的量的鬼魂”、“令人憎恶的小零蛋”、“特定的无”等等。[3]
Marx在他的《数学手稿》中指出，微商（导数）应该是严格的、特定的；微分应该是扬弃的增量，不是虚无，而是“特定的无”。[2]通俗地讲，即当平均变化率变为瞬时变化率（导数）时，。数学家Euler认为，一个比任何给定量还小的数，必然为零，因此在数值上等于0；因此，对欧拉而言微积分只是找出表达式之值的启发式运算。[3]可惜的是Euler和Marx未给出无穷小量概念的合理的数学描述，随着时间的流逝，这些正确观点逐渐被人们所淡忘。
2 修正微分的定义
根据Euler和Marx的微分在数值上为0观点，不妨重新定义微分和。我们取极限，作为扬弃的增量，把它称作自变量的微分，记做，那么因变量的微分即为。我们发现，和在数值上等于0但不同于代数的0，因为它们是变量在趋于0过程中的最终极限值，是带有变化趋势这一信息的。下面根据极限理论严格描述微分：
定义2.1严格的，若R上变量满足，则称变量在处可微，我们把增量趋于零时的极限叫做变量在处的微分，记为，又可表示成，不混淆的情况下简写为.
同理，函数的因变量也可按上述定义，因此只要给定一条数轴，R上的任意连续变量均可写出微分的形式，与函数的依赖关系无关。此外，注意到此定义有个奇妙之处：，也就是可以把0和互换，不妨称为微分形式不变性。
下面考虑两个变量的微商（导数）运算，我们竭尽全力要使两个具有函数依赖关系的变量微分之比等于因变量对自变量的导数，即。从形式上可以得到如下推导：
充分性：
（2）
必要性：
（3）
其中表示当时，，即函数连续性这一变量之间的依赖关系。在上述推导中我们疏忽了一点，就是极限的除法运算中要求分母变量不等于0。如果要把它推广到的形式，就要用到Bolzano连续性赋值。
3 建立微商引理
先观察这样一类函数，满足形式，且与在定义域上连续，但函数在某一点上化为。例如信号处理理论中常用的抽样函数：，在=0时刻或延时后峰值具有物理意义，通常显式地定义为。而在高等数学教学中，通常认为当=0时刻分母等于0无定义，从而采用两边夹定理得到重要极限：。数学家Bolzano认为：如果一个函数在某一点化为，那么它在这个点上就没有确定值；但是，当达到这个点时，它可以有一个极限值；他还正确地指出，把有限值作为的意义，可使函数在这一点成为连续的。[3]不妨称之为Bolzano连续性赋值，利用这个极限赋值，我们建立微商引理：
引理3.1设函数，在点处有，，且存在，根据Bolzano连续性赋值，我们认为在点处有定义且连续，满足，即：，又，得到.
引理3.1我们称为微商引理。
特别的，函数
，显然
，；若极限存在，则在处有定义且连续，同理，根据微商引理，有：，即函数在的函数值为
，由微分形式不变性，将0换成，有
。
4 统一无穷小分析与极限理论
定理4.1若函数在点处连续，则满足。
这个定理的证明是轻而易举的，可能在微积分的计算中没有多大的作用，但对于无穷小分析与极限理论的统一，却是至关重要的。
根据无穷小分析给出的导数定义式：，取函数的自变量变化无穷小量，随变化增量为。则由修正的微分定义，有，。其中，，设，=0，显然函数在处连续。由定理4.1，有
，再根据微商引理，得：
.
另外，，故。
这样我们就把无穷小分析建立在极限理论之上，使之获得严密的逻辑基础，又可重新使用无穷小量的简洁表示，而不必写出极限符号。
师教民教授在论文《论极限理论的微分之谜》中指出，无穷小分析法和极限理论给出的导数定义本质上都是定义函数在处的函数值。[5]我们论证了这一观点的正确性，体现了微积分概念应该是按照“否定之否定”的哲学原理发展的。第二次数学危机的产生和极限理论的处理方法其实是微分学发展过程中的第一次否定，第二次否定应该是回归到最初的无穷小分析法上，在更高层次上的“回应”，这也是符合马克思主义自然辩证法原理的。
根据修正的微分定义，这里有必要改进无穷小量的数学描述。极限理论是把无穷小以潜无穷的变量表达出来的，定义如下：（或N），当（或时），总有，则称函数为当（或）时的无穷小量。[6]根据第一代微积分（无穷小量分析法）与微商引理，我们修正定义如下：
定义4.1（或N），当（或时），总有0< ，即或，则称极限为当（或）时的无穷小量。
定义4.1中排除常量0是为了区别“虚无”和“特定的无”，根据Euler的微分学理论，无穷小量正是特定的消失的变量，在数值上等于0，因此是实无穷取径。根据定义4.1，微分是无穷小量，无穷小量也可以转化为微分的形式：（时，），有。
定理4.2 若，，则.[6]
定理4.2可由极限的乘法运算法则直接导出，特别的，令极限常数A=0，得到无穷小量的转换定理。接下来我们给出无穷小比较的定义。
定义4.2 设，是同一极限过程中的两个无穷小量（为了方便表示，这里略去了与的下标），如果有
（1），则称是比的高阶无穷小量，记做；
（2），则称是比的低阶无穷小量；
（3），则称与是同阶无穷小量；
特别的，若c=1，则称与是等价无穷小量，记做∶.
我们发现，新定义的实无穷小量通过微商引理转化到极限理论定义的潜无穷小量上。类似的，我们引入等价代换定理：
定理4.3 设存在且，则比值也存在，且有
（4）
证明：
特别的，微分自身之比为1，，满足等价无穷小的定义。
5 基于新定义推证相关定理
下面将依据新的微分定义与微商引理举例推证微分学相关公式，揭示无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系。
定理5.1（复合函数求导法则）
证明：设及都可导，则复合函数在处可导，可导必连续，
定理5.2（反函数求导法则）
证明：设函数=g（y）在点y0处可导且存在反函数，则函数在处的导数为：
定理5.3（L’Hospital法则的特征表式）
引理 5.3 若函数在点处可导，且导函数在点处连续，则有：
（5）
若，且在点的某个去心邻域内，及都存在，且，，结合微商引理和引理5.3，有
如果依然满足L’Hospital法则的条件，循环使用直至求出极限为止（极限最终存在的前提），即：
（6）
不妨称式（5-2）为L’Hospital法则的特征表式，简称特征式。
根据Bolzano连续性赋值，我们发现，L’Hospital法则、等价无穷小代换、两个变量的微分之商在本质上是一样的，就是求函数在点=a处的函数值！这验证了Euler的观点：微分学只是找出表达式之值的启发式运算。[3]
6 结论
综上所述，我们在极限理论的基础上修正微分和无穷小量的定义，证明了无穷小分析的逻辑是正确的，统一了无穷小分析与极限理论；无穷小量（或微分）在数值上是等于零的，出现和这个悖论是因为没有获得微分与零关系的正确见解。微商引理指出，任何导数都是严格的形式，这和Marx的《数学手稿》中的新思想是一致的，同时，也和Euler的微分学基础理论吻合。从哲学的角度看，Marx的辩证微分学思想获得了纯粹数学的描述；微分学概念是按照“否定之否定”的原理发展的，那么第二次数学危机也可以从本质上彻底解决。
参考文献
[1]Euler. John D. Blahton.Foundations of Differential Calculus[M].New York： Springer-Verlag，2000.
[2]马克思.数学手稿[M].北京：北京大学出版社，1975.
[3][美]卡尔·B·波耶，著.微积分概念发展史[M].唐生，译.上海：复旦大学出版社，2013.
[4]师教民.微积分之谜与美[M].石家庄：河北科学技术出版社，2007.
[5]师教民.论极限理论的微分之谜[J].高等数学研究，2012（4）：44-46.
[6]南京理工大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008.
